多元函数微分

二元函数的极限

定义

重极限：
自变量 $x, y$ 同时以任何方式趋近于 $x_0, y_0$ ，表示为
$L=\lim_{(x, y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)$
累次极限：
自变量 $x, y$ 依一定的先后顺序 相继趋近于 $x_0, y_0$ ，
以先对 $x\to x_0$ 后对 $y\to y_0$ 的累次极限为例
$K=\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0} f(x,y)$

定理

若两种累次极限和重极限均存在，则三者相等
若两种累次极限存在但是不相等，则重极限必不存在

二元函数的连续性

连续与间断点
$f$ 关于 $D$ 在 $P_0$ 连续 $\iff$ $\displaystyle \lim_{P\to P_0}f(P) = f(P_0)$
- 若 $P_0$ 是 $D$ 的聚点，而上式不成立，则 $P_0$ 称为 间断点
- 若左边的极限存在而不等于 $f(P_0)$ 则称为 可去间断点
全增量与偏增量
对于 $P_0(x_0, y_0),\, P(x, y) \in D$ ，设 $\Delta x = x - x_0,\; \Delta y = y - y_0$ ，
称
$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$
为 $f$ 在 $P_0$ 的 全增量。
- $f$ 关于 $D$ 在 $P_0$ 连续 $\iff \displaystyle \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)}\Delta z = 0$
- 在全增量中取 $\Delta x=0$ 或 $\Delta y = 0$ ，相应的函数增量称为 偏增量
- 全增量极限为零则偏增量极限也为零（反之不一定）
有界闭域上连续函数的性质
- 有界性与最大最小值定理
  若 $f$ 在有界闭域上连续，则在该区域内有界且能取得最大最小值
- 一致连续性定理
  若 $f$ 在有界闭域上连续，则 $f$ 在该区域上 一致连续，即对任何 $\epsilon > 0$ ，总存在 $\delta(\epsilon)$ ，使得对一切点 $P, Q$ ，只要 $\rho(P, Q) < \delta$ 就有 $|f(P) - f(Q)| < \epsilon$
- 介值性定理
  若 $f$ 在有界闭域上连续，且 $P_1, P_2 \in D$ 满足 $f(P_1) < f(P_2)$ ，
  则对于任何满足 $f(P_1) < \mu < f(P_2)$ 的实数 $\mu$ ，必存在点 $P_0 \in D$ 使得 $f(P_0) = \mu$

多元函数微分学

全微分

若 $f$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处的全增量 $\Delta z$ 可以表示为

\begin{aligned} \Delta z &= f(x_0 + \Delta x,\, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\\[1ex] &= A\,\Delta x + B\,\Delta y + o(\rho), \end{aligned}

其中 $A, B$ 是仅与 $P_0$ 有关的常数， $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ，
$o(\rho)$ 表示比 $\rho$ 高阶的无穷小量，则称 $f$ 在 $P_0$ 可微，
称线性函数

A\,\Delta x + B\,\Delta y

为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的 全微分，记作

dz\big|_{P_0} = df(x_0, y_0) = A\,\Delta x + B\,\Delta y.

当 $|\Delta x|, |\Delta y|$ 足够小时，全微分可作为全增量的近似，即 $f(x, y) \approx f(x_0, y_0) + A(x - x_0) + B(y - y_0).$

可微性条件

可微的必要条件：
若 $f$ 在区域 $D$ 上每一点都可微，则 $f$ 在 $D$ 上的全微分为
$df(x, y) = f_x(x, y)\,dx + f_y(x, y)\,dy.$
可微的充分条件：
若函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内存在，且 $f_x,\,f_y$ 在点 $(x_0, y_0)$ 连续，则 $f$ 在该点可微。
注：这是充分条件，不能由偏导数的不连续推出函数不可微。
若函数在某点处的偏导数均连续，则称该函数在该点上 连续可微。
中值公式：
若函数 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内存在偏导数，则对于该邻域内的任一点 $(x, y)$ ，存在
$\xi = x_0 + \theta_1 (x - x_0),\quad \eta = y_0 + \theta_2 (y - y_0),\quad 0 < \theta_1,\,\theta_2 < 1,$
使得
$f(x, y) - f(x_0, y_0) = f_x(\xi, y)(x - x_0) + f_y(x_0, \eta)(y - y_0).$

复合函数的全微分

若以 $x, y$ 为自变量的函数 $z = f(x, y)$ 可微，则其全微分为

dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

下面给出一个利用复合函数全微分求偏导数的例子。

例：设 $z = e^{xy}\sin(x+y)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

解：
令

z = e^u\sin v,\quad \text{其中 } u = xy,\quad v = x+y.

则

dz = z_u\,du + z_v\,dv = e^u\sin v\,du + e^u\cos v\,dv.

又有

du = y\,dx + x\,dy,\quad dv = dx + dy.

因此，

\begin{aligned} dz &= e^{xy}\sin(x+y)\,(y\,dx + x\,dy) + e^{xy}\cos(x+y)\,(dx + dy)\\[1ex] &= e^{xy}\Bigl[ \bigl(y\sin(x+y) + \cos(x+y) \bigr)dx + \bigl(x\sin(x+y) + \cos(x+y)\bigr)dy \Bigr]. \end{aligned}

从而得

\begin{aligned} z_x &= e^{xy}\Bigl[y\sin(x+y) + \cos(x+y)\Bigr],\\[1ex] z_y &= e^{xy}\Bigl[x\sin(x+y) + \cos(x+y)\Bigr]. \end{aligned}

偏导数

设 $z = f(x, y)$ ，其中 $(x, y) \in D$ 。若对于固定 $y=y_0$ ，函数 $f(x, y_0)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，则当

\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}

存在时，称该极限为 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 关于 $x$ 的 偏导数，记作

f_x(x_0, y_0) \quad \text{或} \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}.

若 $z = f(x, y)$ 在每一点上都存在对 $x$ 或对 $y$ 的偏导数，则可得到相应的偏导函数，记作

f_x(x, y) \quad \text{或} \quad \frac{\partial f}{\partial x}.

如何求偏导数

将其他自变量视为常数。
对当前自变量作一元函数求导。

复合函数求导（链式法则）

若函数 $x = \varphi(s, t),\; y = \psi(s,t)$ 在点 $(s, t) \in D$ 可微，且 $z = f(x,y)$ 在 $(x,y)=(\varphi(s, t), \psi(s,t))$ 处可微，则复合函数 $z = f(\varphi(s, t), \psi(s,t))$ 在点 $(s,t)$ 可微，其偏导数为

\frac{\partial z}{\partial s}\bigg|_{(s, t)} = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x, y)}\frac{\partial x}{\partial s}\bigg|_{(s, t)} + \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x, y)}\frac{\partial y}{\partial s}\bigg|_{(s, t)},

\frac{\partial z}{\partial t}\bigg|_{(s, t)} = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x, y)}\frac{\partial x}{\partial t}\bigg|_{(s, t)} + \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x, y)}\frac{\partial y}{\partial t}\bigg|_{(s, t)}.

一般地，对于 $f(u_1, u_2, \dots, u_m)$ 且 $u_k = g_k(x_1, x_2, \dots,x_n)$ 的复合函数，其偏导数为

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{k=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial u_k} \frac{\partial u_k}{\partial x_i},\quad (i = 1, 2, \dots, n).

方向导数

定义

设三元函数 $f$ 在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域 $U(P_0) \subset \mathbb{R}^3$ 内有定义，令 $l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线， $P(x, y, z)$ 为在 $l$ 上且位于 $U(P_0)$ 内的任一点。记 $\rho$ 为 $P$ 与 $P_0$ 之间的距离，若极限

\lim_{\rho \to 0^+}\frac{f(P) - f(P_0)}{\rho} = \lim_{\rho \to 0^+}\frac{\Delta_l f}{\rho}

存在，则称该极限为 $f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的 方向导数，记作

f_t(P_0) \quad \text{或} \quad \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0}.

计算公式

方向导数可表示为

f_t(P_0) = f_x(P_0)\cos \alpha + f_y(P_0)\cos \beta + f_z(P_0)\cos \gamma,

其中 $\cos \alpha,\,\cos \beta,\,\cos \gamma$ 分别为方向 $l$ 在 $x,y,z$ 轴上的方向余弦，

\cos \theta_i = \frac{l_i}{|l|}.

梯度

定义

若多元函数在某点存在所有自变量的偏导数，则向量

\mathbf{grad}\,f(P_0) = \bigl(f_x(P_0),\, f_y(P_0),\, f_z(P_0)\bigr)

称为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的梯度，其模为

\bigl|\mathbf{grad}\,f(P_0)\bigr| = \sqrt{f_x(P_0)^2 + f_y(P_0)^2 + f_z(P_0)^2}.

设方向 $l$ 的单位向量为

l_0 = (\cos \alpha,\, \cos \beta,\, \cos \gamma),

则方向导数也可写成

f_l(P_0) = \mathbf{grad}\,f(P_0)\cdot l_0 = \bigl|\mathbf{grad}\,f(P_0)\bigr|\cos\theta,

其中 $\theta$ 为梯度向量与 $l_0$ 之间的夹角。

高阶偏导数

定义如下：

\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\\[1ex] f_{xy}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\\[1ex] f_{yx}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\\[1ex] f_{yy}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. \end{aligned}

定理

若 $f_{xy}(x, y)$ 和 $f_{yx}(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 连续，则有

f_{xy}(x, y)=f_{yx}(x, y).

复合函数的高阶偏导数

例：设 $z = f(x, \frac{x}{y})$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。

解：
令

u = x,\quad v = \frac{x}{y},\quad \text{则 } z = f(u,v).

首先有

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}.

进一步，

\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\Biggl(\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}\Biggr)\\[1ex] &= \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\Biggl(\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}\Biggr)\\[1ex] &= \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{1}{y}\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} + \frac{1}{y}\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u} + \frac{1}{y^2}\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\\[1ex] &= \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{2}{y}\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} + \frac{1}{y^2}\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}, \end{aligned}

以及

\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\Biggl(\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}\Biggr)\\[1ex] &= \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial y} + \frac{\partial}{\partial y}\Biggl(\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}\Biggr)\\[1ex] &= -\frac{x}{y^2}\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} -\frac{x}{y^3}\frac{\partial^2 f}{\partial v^2} -\frac{1}{y^2}\frac{\partial f}{\partial v}. \end{aligned}

中值定理

设二元函数 $f$ 在凸开域 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上可微，则对任意两点 $P(a, b)$ 与 $Q(a + h,\, b + k)$ 存在 $0 < \theta < 1$ 使得

f(a + h, b + k) - f(a, b) = h\,f_x(a + \theta h, b + \theta k) + k\,f_y(a + \theta h, b + \theta k).

注：此处中值点在两点连线上，且只有一个 $\theta$ 。
推论： 若 $f$ 在区域 $D$ 上存在偏导数，且

f_x = f_y \equiv 0,

则 $f$ 在 $D$ 上为常量函数。

泰勒公式

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 上具有直到 $n+1$ 阶的连续偏导数，则对 $U(P_0)$ 上任一点 $(x_0+h, y_0+k)$ ，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得

\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k) =\; & f(x_0,y_0) + (h\,\partial_x + k\,\partial_y)f(x_0,y_0)\\[1ex] &+\frac{1}{2!}(h\,\partial_x + k\,\partial_y)^2 f(x_0,y_0) +\cdots\\[1ex] &+\frac{1}{n!}(h\,\partial_x + k\,\partial_y)^n f(x_0,y_0)\\[1ex] &+\frac{1}{(n+1)!}(h\,\partial_x + k\,\partial_y)^{n+1} f\Bigl(x_0+\theta h,\, y_0+\theta k\Bigr). \end{aligned}

其中

\frac{1}{n!}(h\,\partial_x + k\,\partial_y)^n f(x_0,y_0) =\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}\, \frac{\partial^n f}{\partial x^i\,\partial y^{n-i}}(x_0,y_0)\,h^i\,k^{n-i}.

极值问题

极值的必要条件：
若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 存在偏导数，且在 $P_0$ 取得极值，则必有
$f_x(x_0,y_0) = 0,\quad f_y(x_0,y_0) = 0,$
此时称 $P_0$ 为 极值点。若满足上述条件但不取极值，则称为 稳定点。
极值的充分条件：
设二元函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且 $P_0$ 为稳定点，则
- 当 $\mathbf{H}_f(P_0)$ 为正定矩阵时， $f$ 在 $P_0$ 取得 极小值；
- 当 $\mathbf{H}_f(P_0)$ 为负定矩阵时， $f$ 在 $P_0$ 取得 极大值；
- 当 $\mathbf{H}_f(P_0)$ 不定时， $f$ 在 $P_0$ 不取极值。
黑塞矩阵
定义为
$\mathbf{H}_f(P_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0)\\[1ex] f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \end{pmatrix}.$
实用判别法：
1. 当 $f_{xx}(P_0)>0$ 且 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0)]^2>0$ 时， $f$ 在 $P_0$ 取极小值；
2. 当 $f_{xx}(P_0)<0$ 且 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0)]^2>0$ 时， $f$ 在 $P_0$ 取极大值；
3. 当 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0)]^2<0$ 时， $f$ 在 $P_0$ 不取极值；
4. 当 $f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)-[f_{xy}(P_0)]^2=0$ 时，无法确定。

隐函数定理

隐函数

定义

设方程

F(x,y)=0,\quad x\in I,\; y\in J,\quad (x,y)\in E\subset \mathbb{R}^2.

称该方程确定了一个定义在 $I$ 上、值域包含于 $J$ 的 隐函数

y=f(x) \quad \Longrightarrow \quad F(x, f(x))=0.

隐函数定理

隐函数存在唯一性定理

若满足以下条件：

$F$ 在以 $P_0(x_0,y_0)$ 为内点的某一区域 $D\subset \mathbb{R}^2$ 内连续；
$F(x_0,y_0)=0$ ；
$F$ 在 $D$ 上存在连续的偏导数 $F_y(x,y)$ ；
$F_y(x_0,y_0)\neq 0$ ；

则在 $P_0$ 的某邻域内存在唯一的隐函数 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0$ ，且 $f(x)$ 在该邻域内连续。
注：若将条件 3 和 4 中对 $y$ 的偏导数改为对 $x$ 的偏导数，则结论为存在唯一隐函数 $x=g(y)$ 。

隐函数可微性定理

对于连续可微函数 $F$ ，若其对 $y$ 的偏导数在 $P_0$ 处不为零，则在 $P_0$ 的某邻域内存在唯一连续可微的隐函数，且其导数为

f'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.

对于多元函数 $F(x_1,x_2,\dots,x_n,y)$ ，则有

y=f(x_1,x_2,\dots,x_n),\quad \text{且}\quad \frac{\partial f}{\partial x_i}=-\frac{F_{x_i}}{F_y},\quad i=1,2,\dots,n.

隐函数求极值

求隐函数的极值时，可先求出使 $f'(x)=0$ 的驻点，再利用隐函数的二阶导数求出极值性质。
例如，由 $F_x(x,y)=0$ 可化简得到

y''\big|_A=-\frac{F_{xx}}{F_y}\Big|_A.

隐函数组

定义

对于方程组

\begin{cases} F(x,y,u,v)=0,\\[1ex] G(x,y,u,v)=0, \end{cases}

若在某区域内存在隐函数

\begin{cases} u=f(x,y),\\[1ex] v=g(x,y), \end{cases}\quad (x,y)\in D,\; (u,v)\in E,

使得在 $D$ 上有

\begin{cases} F\bigl(x,y,f(x,y),g(x,y)\bigr)\equiv 0,\\[1ex] G\bigl(x,y,f(x,y),g(x,y)\bigr)\equiv 0, \end{cases}

则称该方程组确定了二元隐函数组。

雅可比行列式

对 $F,\,G$ 关于 $u,v$ 求偏导数，构成行列式

J = \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v\\[1ex] G_u & G_v \end{vmatrix}.

若 $J\neq 0$ ，则可从对 $x,y$ 的偏导数方程中解出 $u_x,v_x,u_y,v_y$ ，这与隐函数唯一存在定理中的条件相同。

隐函数组定理

若

$F(x,y,u,v)$ 与 $G(x,y,u,v)$ 在以 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 为内点的区域 $V\subset \mathbb{R}^4$ 内连续；
$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,\quad G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$ ；
$F$ 与 $G$ 在 $V$ 上具有一阶连续偏导数；
雅可比行列式 $J\big|_{P_0}\neq 0$ ；

则存在 $Q_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(Q_0)$ ，在其中存在唯一隐函数组

\begin{cases} u=f(x,y),\\[1ex] v=g(x,y), \end{cases}

满足

\begin{aligned} &f(x_0,y_0)=u_0,\quad g(x_0,y_0)=v_0,\\[1ex] &\text{且当 } (x,y)\in U(Q_0) \text{ 时, } (x,y,f(x,y),g(x,y))\in U(P_0),\\[1ex] &F\bigl(x,y,f(x,y),g(x,y)\bigr)\equiv 0,\quad G\bigl(x,y,f(x,y),g(x,y)\bigr)\equiv 0. \end{aligned}

同时， $f(x,y)$ 与 $g(x,y)$ 在 $U(Q_0)$ 上具有连续的一阶偏导数，并满足

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial(x,v)},\quad & \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial(u,x)},\\[1ex] \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial(y,v)},\quad & \frac{\partial v}{\partial y} &= -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial(u,y)}. \end{aligned}

条件极值

定义

条件极值问题的一般形式为：
在约束条件

\varphi_k(x_1,x_2,\dots,x_n)=0,\quad k=1,2,\dots,m\quad (m<n)

下，求目标函数

y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)

的极值。

使用拉格朗日乘数法求解步骤

构造拉格朗日函数
引入拉格朗日乘数 $\lambda_i$ ，构造函数
$L(x_1,x_2,\dots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\,\varphi_i(x_1,x_2,\dots,x_n).$
求偏导数
对每个变量求偏导数，令
$\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,\quad i=1,2,\dots,n,\quad\text{以及}\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda_j}=0,\quad j=1,2,\dots,m.$
解方程组
解上述方程组，得到满足条件的 $(x_1,x_2,\dots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)$ 。
检验极值点
检验得到的点是否为极值点。

参考文献

《数学分析》华东师大第五版（下册）

数学分析（下） - 多元函数微分

多元函数微分

二元函数的极限

定义

定理

二元函数的连续性

多元函数微分学

全微分

可微性条件

复合函数的全微分

偏导数

如何求偏导数

复合函数求导（链式法则）

方向导数

定义

计算公式

梯度

定义

高阶偏导数

定理

复合函数的高阶偏导数

中值定理

泰勒公式

极值问题

隐函数定理

隐函数

定义

隐函数定理

隐函数存在唯一性定理

隐函数可微性定理

隐函数求极值

隐函数组

定义

雅可比行列式

隐函数组定理

条件极值

定义

使用拉格朗日乘数法求解步骤

参考文献