可以先看看这篇文章打一下基础： 数学分析基础

级数

数项级数

级数的敛散性

• 数项级数
  对于数列 $\{u_n\}$，$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} u_i$ 称为数项级数。

• 部分和
  $\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^n u_i$ 称为数项级数的第 $n$ 个部分和，简称部分和。

• 收敛与和
  若

  $$\lim_{n\to\infty} S_n = S,$$

  则称数项级数收敛，且 $S$ 为级数的和。

级数收敛的柯西准则

数项级数收敛的充要条件为：
任给正数 $\epsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $m > N$ 时，对任一正整数 $p$，都有

• 推论：级数收敛的必要条件为 $$\lim_{n\to\infty} u_n = 0.$$

正项级数

比较原则

对于两个正项级数 $\{u_n\}$ 与 $\{v_n\}$，若存在某正整数 $N$ 使得对一切 $n > N$ 有

则

1. 若级数 $\displaystyle \sum v_n$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum u_n$ 也收敛；
2. 若级数 $\displaystyle \sum u_n$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum v_n$ 也发散。

比较原则的推论

若

则

1. 当 $0 < l < +\infty$ 时，两级数同敛散；
2. 当 $l = 0$ 或 $l = +\infty$ 时，$\displaystyle \sum v_n$ 的敛散情况决定 $\displaystyle \sum u_n$ 的敛散性。

比式判别法和根式判别法

• 比式判别法：

  $$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = q.$$
  1. 当 $q < 1$ 时，级数收敛；
  2. 当 $q > 1$ 或 $q = +\infty$ 时，级数发散；
  3. 当 $q = 1$ 时，判别失败。

• 根式判别法：

  $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = l.$$
  1. 当 $l < 1$ 时，级数收敛；
  2. 当 $l > 1$ 时，级数发散；
  3. 当 $l = 1$ 时，无法判断。

一般项级数

交错级数

莱布尼茨判别法

若数列 $\{u_n\}$ 单调递减且

则交错级数 $\displaystyle \sum (-1)^n u_n$ 收敛。

绝对收敛

若

收敛，则称 $\displaystyle \sum u_n$ 为绝对收敛级数。

• 绝对收敛级数必定收敛；
• 收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛级数。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

对于数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$：

1. 若 $\{a_n\}$ 为单调有界数列，且级数 $\displaystyle \sum b_n$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum (a_n b_n)$ 收敛；
2. 若 $\{a_n\}$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，且 $\{b_n\}$ 的部分和 $\{S_n\}$ 有界，则级数 $\displaystyle \sum (a_n b_n)$ 收敛。

函数项级数

• 函数列
  对于每一个 $n$ 都有对应的函数 $f_n$，称这样的序列为函数列。

• 收敛域
  如果

  $$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x), \quad x\in D,$$

  则 $D$ 称为函数列 $\{f_n(x)\}$ 的收敛域。

函数列的一致收敛性

一致收敛的定义

设函数列 $\{f_n(x)\}$ 与函数 $f(x)$ 定义在同一集合 $D$ 上，
若对任给 $\epsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对一切 $x\in D$ 有

则称 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f$，记作

内闭一致收敛

若对任一闭区间 $[a,b] \subset I$，$\{f_n\}$ 在该区间上一致收敛于 $f$，则称 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛于 $f$。

一致收敛的柯西准则

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是：
对任给 $\epsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n,m > N$ 时，对一切 $x\in D$ 有

一致收敛定理

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是

（不一致收敛的充要条件则是存在一列 $x_n\in D$ 使得 $\left| f_n(x_n) - f(x_n) \right|$ 不收敛于 0。）

函数项级数

定义

对于函数列 $\{u_n(x)\}$，级数

称为定义在 $E$ 上的函数项级数，记作 $\displaystyle \sum u_n(x)$。
其部分和函数定义为

若

则 $D$ 称为该级数的收敛域。
因此，函数项级数的收敛性即等价于其部分和函数列的收敛性。

函数项级数的一致收敛

若函数项级数的部分和函数列在 $D$ 上一致收敛，则称该函数项级数在 $D$ 上一致收敛。
若在某闭区间上一致收敛，则称为该区间上的内闭一致收敛。

一致收敛的柯西准则

函数项级数 $\displaystyle \sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件为：
任给 $\epsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对一切 $x\in D$ 以及任一正整数 $p\ge 2$ 有

（当 $p=1$ 时，该条件仅为必要条件。）
推论： 若级数在 $D$ 上一致收敛，则必有其各项 $u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 0。

一致收敛定理

函数项级数 $\displaystyle \sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是

魏尔斯特拉斯 $M$ 判别法

设函数项级数 $\displaystyle \sum u_n(x)$ 定义在 $D$ 上，且存在正项级数 $\displaystyle \sum M_n$ 收敛，满足对一切 $x\in D$ 有

则 $\displaystyle \sum u_n(x)$ 在 $D$ 上绝对收敛，从而收敛。

阿贝尔判别法

若满足下列条件：

1. $\displaystyle \sum u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛；
2. 对每个 $x\in I$，数列 $\{v_n(x)\}$ 单调；
3. 数列 $\{v_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致有界；

则级数 $\displaystyle \sum u_n(x) v_n(x)$ 收敛。

狄利克雷判别法

若满足：

1. $\displaystyle \{S_n(x)\}$（即 $\displaystyle \sum u_n(x)$ 的部分和函数列）在 $I$ 上一致有界；
2. 对每个 $x\in I$，数列 $\{v_n(x)\}$ 单调；
3. 数列 $\{v_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 0；

则级数 $\displaystyle \sum u_n(x) v_n(x)$ 收敛。

一致函数列、级数与交换运算

在一定条件下，求和可以与极限、积分、求导等运算交换，这里不再赘述。

幂级数

幂级数的定义

形如

的函数项级数称为幂级数。（若取 $x_0=0$，则称为麦克劳林级数。）

收敛区间与收敛半径

幂级数的收敛域是以 $x_0$ 为中心的区间。设区间长度为 $2R$，则 $R$ 称为幂级数的收敛半径，区间 $(x_0-R,\, x_0+R)$ 称为收敛区间。
在 $x = x_0\pm R$ 处，幂级数可能收敛也可能发散。

收敛半径的求解

常用的方法有根判别法和比判别法。

• 根判别法：

  $$\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

  则：

  1. 若 $0<\rho<+\infty$，则 $R=\frac{1}{\rho}$；
  2. 若 $\rho=0$，则 $R=+\infty$；
  3. 若 $\rho=+\infty$，则 $R=0$.

• 比判别法：
  若

  $$\lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \rho,$$

  则同样有 $R=\frac{1}{\rho}$（当该极限存在时）。

一致收敛性

幂级数在收敛区间内的任一闭区间上均一致收敛。

幂级数展开

泰勒级数

对于在点 $x_0$ 可任意求导的函数 $f$，其泰勒级数为

泰勒级数的收敛

设 $f$ 在点 $x_0$ 有任意阶导数，则 $f$ 在区间 $(x_0-r,\, x_0+r)$ 上等于其泰勒级数的充要条件是：
对任一满足 $|x-x_0|<r$ 的 $x$，

其中余项 $R_n(x)$ 有多种表示形式，如：

或

或

参考文献

• 《数学分析》华东师大第五版（下册）